Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-π，6]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数中的恒等变换应用化简函数可得解析式f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用周期公式即可得解．
（2）由x∈[-π，6]，可得x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{25π}{4}$]，根据正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin²$\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{1}=2π$．
（2）∵f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x∈[-π，6]，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{25π}{4}$]，sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）在区间[-π，6]上的最小值f（x）_min=-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于基本知识的考查．