Question

【题目】已知的两个顶点，的坐标分别为，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，，，，动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设直线与曲线交于，两点，点在曲线上，是坐标原点，若，判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形的面积为定值.

【解析】

（1）根据条件得动点满足的等式，再根据椭圆定义求轨迹方程，注意根据三角形去掉轴上的点，（2）先确定直线斜率存在，再设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量坐标关系得D坐标，代入椭圆方程得，最后利用点到直线距离公式得高，利用弦长公式得底边边长，根据平行四边形面积公式得结果.

解：（1）由题意：，，∴ ，

∴动点的轨迹是以，为焦点的椭圆（不含轴上的点），

∴曲线的方程为；

（2）①当直线的斜率不存在时，点在轴上，不在曲线上，故不合题意；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，

联立方程可得：，

则，，，

∴，∴，即：，

此时，

，

设点到直线的距离为，则，

∴四边形的面积为：，

故四边形的面积为定值.