Question

12．设函数f（x）=a•4^x+2^x+1（a∈R），若当x∈（-∞，1）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数t=2^x，t∈（0，2），得出f（t）=at²+t+1＞0恒成立，利用二次函数性质分别对a讨论即可．

解答 解：令t=2^x，t∈（0，2），
∴f（t）=at²+t+1＞0恒成立，
当a=0时，显然成立，
当a＞0时，显然成立，
当a＜0时，f（0）=1，f（2）=4a+2+1≥0，
∴a的范围为a≥-$\frac{3}{4}$．

点评 考查了换元思想和二次函数的性质．