Question

17．已知函数f（x）=$\frac{a}{a-1}$（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性（单调性不需证明）；
（2）若对于任意x∈R，f（x-λ）+f（x²-λ）＞0恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求定义域，判断是否关于原点对称，求f（-x）=$\frac{a}{a-1}$（a^-x-a^x）=-f（x）得出结果；
（2）利用（1）的结论，得出x-λ＞-x²+λ，只需求出x²+x的最小值即可．

解答 解：（1）函数的定义域为全体实数，关于原点对称，
f（-x）=$\frac{a}{a-1}$（a^-x-a^x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
函数f（x）为单调递增函数；
（2）∵f（x-λ）+f（x²-λ）＞0，
∴f（x-λ）＞-f（x²-λ），
∴f（x-λ）＞f（-x²+λ），
∴x-λ＞-x²+λ，
∴x²+x＞2λ恒成立，
∴-$\frac{1}{4}$＞2λ，
∴λ$＜-\frac{1}{8}$．

点评 考查了奇偶性的判断和利用奇偶性解决实际问题．