Question

6．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一个焦点为F₁，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF₁相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{5}{9}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$

Answer 1

分析 设线段PF₁的中点为M，另一个焦点F₂，利用OM是△FPF₂的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF₁的三边之长，使用勾股定理求离心率．

解答 解：设线段PF₁的中点为M，另一个焦点F₂，
由题意知，OM=b，又OM是△FPF₁的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$PF₂=b，PF₂=2b，由椭圆的定义知  PF₁=2a-PF₂=2a-2b，
又MF₁=$\frac{1}{2}$PF₁=$\frac{1}{2}$（2a-2b）=a-b，又OF₁=c，
直角三角形OMF₁中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，又a²-b²=c²，
可得2a=3b，故有4a²=9b²=9（a²-c²），由此可求得离心率 e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用离心率公式和椭圆的定义：椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a．