Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆C上，求P到直线x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距离的最大值和最小值，并求出取最大值或最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆方程，令x=c求得y，可得a=2b²，再由等边三角形可得c=$\sqrt{3}$b，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设出与直线x-2y+3$\sqrt{2}$=0平行的切线方程，和椭圆方程联立后由判别式等于0求得两切线方程，由平行线间的距离公式求得椭圆上点P到直线x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距离的最大值和最小值，并通过求解方程得到P点坐标．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），令x=c，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有$\frac{{2b}^{2}}{a}$=1，①
又焦点与短轴两端点构成等边三角形，则c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2b，②
又a²-b²=c²，③
由①②③解得a=2，b=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设与直线x-2y+3 $\sqrt{2}$=0平行的直线方程为x-2y+m=0，
联立 $\left\{\begin{array}{l}{x-2y+m=0}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-4=0．
由△=（2m）²-8（m²-4）=0，解得：m=±2$\sqrt{2}$．
∴与直线x-2y+3$\sqrt{2}$=0平行，
且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1相切的切线方程为x-2y-2$\sqrt{2}$=0或x-2y+2$\sqrt{2}$=0．
当切线方程为x-2y-2$\sqrt{2}$=0时，
切点P到直线x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距离最大，为$\frac{|3\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\sqrt{10}$．
由2x²-4$\sqrt{2}$x+4=0，求得P（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
当切线方程为x-2y+2$\sqrt{2}$=0时，
切点P到直线x-2y+3$\sqrt{2}$=0的距离最小，为$\frac{|3\sqrt{2}-2\sqrt{2}|}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
由2x²+4$\sqrt{2}$x+4=0，求得P（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题．