Question

14．设f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$（0≤x≤$\frac{π}{2}$），其中a＞0．
（1）用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）当M（a）=2时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）化f（x）为sinx的二次函数，设sinx=t，则函数g（t）是开口向下，
对称轴为t=$\frac{a}{2}$的抛物线，根据二次函数的性质，对a讨论求出函数最大值；
（2）由M（a）=2求出对应的a值即可．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$
=（1-sin²x）+asinx-$\frac{a}{4}$-$\frac{1}{2}$
=-sin²x+asinx+$\frac{2-a}{4}$，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴0≤sinx≤1；
设sinx=t，则
g（t）=-t²+at+$\frac{2-a}{4}$，t∈[0，1]；
∴f（x）的最大值为
M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}a-\frac{1}{2}，a≥2}\\{{\frac{1}{4}a}^{2}-\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}，0＜a＜2}\end{array}\right.$；
（2）当M（a）=2时，
若a≥2，则$\frac{3}{4}$a-$\frac{1}{2}$=2，解得a=$\frac{10}{3}$；
若0＜a＜2，则$\frac{1}{4}$a²-$\frac{1}{4}$a+$\frac{1}{2}$=2，
解得a=-2或a=3，不合题意，舍去；
综上，a的值是$\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用和二次函数的性质问题，是中档题．