Question

已知：椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦点为M，N；直线PQ经过N交椭圆于P，Q两点．
（1）求证：△MPQ的周长为定值．
（2）求△MPQ的面积的最大值？

Answer 1

分析：（1）由椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦点为M，N，直线PQ经过N交椭圆于P，Q两点，知△MPQ的周长l=|MP|+|NP|+|MQ|+|NQ|=4a，由此能够证明△MPQ的周长为定值．
（2）由椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦点为M，N，知N（2，0），设PQ为x=ny+2，代入椭圆，得（n²+2）y²+4ny-4=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

y1+y2=- 4n n2+2 y1•y2=- 4 n2+2

，故|y1-y2|  =

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 2 • n2+1

n2+2

，由此能求出△MPQ的面积的最大值．

解答：（1）证明：∵椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦点为M，N，直线PQ经过N交椭圆于P，Q两点，
∴△MPQ的周长l=|MP|+|NP|+|MQ|+|NQ|=4a=8

2

，
故△MPQ的周长为定值8

2

．
（2）解：∵椭圆

x2

8

+

y2

4

=1的左右焦点为M，N，
∴N（2，0）
设PQ为x=ny+2代入椭圆，得（ny+2）²+2y²=8，
整理，得（n²+2）y²+4ny-4=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

y1+y2=- 4n n2+2 y1•y2=- 4 n2+2

，
∴|y1-y2|  =

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 2 • n2+1

n2+2

，
∴△MPQ的面积S=

1

2

•2c•|y1-y2|
=

8 2 •  n2+1

n2+2

，
令t=

n2+1

≥1，
则S=

8 2

t+ 1 t

≤

8 2

2 t• 1 t

=4

2

，
∴当t=1，即n=0时，△MPQ的面积的最大值为4

2

．

点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．