Question

已知点（1，）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，数列b_n（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=+（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{前n项和为T_n，问：T_n＞的最小正整数n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件先求出f（x），再求出数列的前三项，由前三项成等比数列求出c的值，则通项{a_n}可求；判断数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，求出其通项后则可求数列{b_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求出数列的和，代入不等式可求最小正整数n．
解答：解：（1）因为f（x）=a^x，且f（1）=，所以a=，所以f（x）=（）^x．
所以a₁=f（1）-c=-c，a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-．
又数列{a_n}成等比数列，所以a₁===-=-c，所以c=1，
又公比q==，所以a_n=-（）^n-1=-2•（）ⁿ（n∈N^* ），
所以S_n-S_n-1=（+）（-）=+（n≥2）．
又b_n＞0，＞0，所以-）=1，
∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+（n-1）×1=n，∴S_n=n²，
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，又其满足b₁=c=1，
所以b_n=2n-1；   
（2）==
∴T_n=（1-++…+）==
∵T_n＞，∴
∴
∴满足T_n＞的最小正整数n是77．
点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查裂项相消法，考查学生的计算能力，属于中档题．