题目内容
若函数
满足
，设
，
，则
与
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
D
【解析】
试题分析：设函数g（x）=xf(x)，∵
，∴
，即函数g(x)在定义域上单调递增，∵2>1，∴g(2)>g(1)，∴2f(2)>f(1) ，∴
>
，故选D
考点：本题考查了导数的运用
点评：对于抽象函数的大小比较问题，常常构造函数，然后利用函数的单调性处理
期末冲刺100分创新金卷完全试卷系列答案
对任意的
满足
,当
时,有
．若函数
在区间
上有零点,则k的值为已知函数
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由.
【解析】第一问当
时，
，则
。
依题意得：
，即
解得
第二问当
时，
，令
得
，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值
第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设
，则
，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
（Ⅰ）当时，，则。
依题意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①当时，，令得
当
变化时，
的变化情况如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
极小值 |
单调递增 |
极大值 |
|
单调递减又
，
，
。∴在
上的最大值为2.
②当
时, 
.当
时, 
,最大值为0；
当
时, 在
上单调递增。∴在最大值为
。
综上，当
时，即
时，在区间上的最大值为2；
当
时，即
时，在区间上的最大值为。
（Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
不妨设，则，显然
∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若
，则
代入（*）式得：
即
，而此方程无解，因此
。此时
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，则
∴
在
上单调递增， ∵ ∴
,∴
的取值范围是
。
∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。
因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上
，并设
，
图像在
处的切线方程为
，求
、
的值；
上单调递减，则
时，试判断
与
的大小关系，并证明之；
恒成立，求
的取值范围 
，并设
，
图像在
处的切线方程为
，求
、
的值；
上单调递减，则
时，试判断
与
的大小关系，并证明之；
恒成立，求
的取值范围．