Question

若f（x）是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f（x+4）≤f（x）+4和f（x+2）≥f（x）+2，且f（3）=4，f（2007）的值是

1. A.
   2006
2. B.
   2007
3. C.
   2008
4. D.
   2009

Answer 1

C
分析：由两个不等式求等式的值，可以用两边堵的方法构造等式．即x≤a，而x≥a，从而x=a． 利用f（x+4）=f（x+2+2）≥f（x+2）+2 而f（x+4））≤f（x）+4 可求得：f（x+2）-f（x）=2；从而 f（3）-f（1）=2，f（5）-f（3）=2，f（7）-f（5）=2，…f（2007）-f（2005）=2累加即可求得f（2007）的值．
解答：∵f（x+4）=f（x+2+2）≥f（x+2）+2，f（x+4））≤f（x）+4，
∴f（x+2）-f（x）≤2，…①
又f（x+2）≥f（x）+2，…②
∴f（x+2）-f（x）=2；又f（3）=4，故f（1）=2，
∴f（3）-f（1）=2，
f（5）-f（3）=2，
f（7）-f（5）=2，
…
f（2007）-f（2005）=2；
∴[f（2007）-f（2005）]+[f（2005）-f（2003]+…+[f（5）-f（3）]+[f（3）-f（1）]=f（2007）-f（1）=1003×2=2006；
∴f（2007）=2008．
故选C．
点评：本题考查函数的周期性，关键是想到采用“两边堵的方法”求得f（x+2）-f（x）=2；再利用数列求和中的累加法求f（2007）的值，属于难题．