Question

函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M，当x∈M时，则f（x）=2^x+2-3×4^x的最大值为

25

12

．

Answer 1

分析：根据对数函数的性质可得3-4x+x²＞0，求出集合M，再根据换元法求出f（x）的最值；

解答：解：函数y=lg（3-4x+x²）的定义域为M，
∴3-4x+x²＞0，即（x-1）（x-3）＞0，
解得M={x|x＞3或x＜1}，
∴f（x）=2^x+2-3×4^x，令2^x=t，0＜t＜2或t＞8，
∴f（t）=-3t²+t+2=-3（t-

1

6

）²+

25

12

^，
当t=

1

6

时，f（t）取最大值，
f（x）_max=f（

1

6

）=

25

12

，
故答案为：

25

12

；

点评：此题主要考查函数的定义域及值域，利用了换元法这一常用的方法，此题是一道基础题；