Question

【题目】已知为常数，函数.

（1）当时，求关于的不等式的解集；

（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；

（3）当时，对于给定的，且，，证明：关于的方程在区间内有一个实根.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）当时，对函数因式分解后，对分类讨论，从而得出不等式的解集.（2）当时，利用二次函数的对称轴、判别式，以及区间端点的函数值分类讨论，列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（3）当时，构造函数设，通过计算，利用零点的存在性定理可证得方程在区间内有一个实根.

（1）

当时，；当时，；

当时，.

(2)

因为所以

因为，所以

当时，解得符合题意

当时，解得符合题意

综上，实数的取值范围为.

（3）设，则

，

，

因为，所以，

又函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的的判定定理可得：在内有一个实数根.