Question

【题目】定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．

（1）求f（0），f（﹣1）的值；

（2）判断该函数的单调性，并证明；

（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）用特殊值法令a＝1，b＝0，可得f（0）的值，令a＝1，b＝﹣1，分析可得f（﹣1）的值；（2）由f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）f（x1），结合用定义法求函数单调性的方法可得结论；（3）f（2）＝f（1+1）＝f（1）f（1）＝4，据此分析可得f（x+1）＜4f（x+1）＜f（2）x+1＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．

（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）f（b）；

令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；

令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）f（﹣1），又由f（1）＝2，则f（-1）＝；

（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，

f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）f（x1）＞f（x1），

则f（x2）﹣f（x1）＞0，

即函数f（x）为增函数；

（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）f（1）＝4，

则f（x+1）＜4f（x+1）＜f（2）x+1＜2，

解可得：x＜1，

即不等式的解集为（﹣∞，1）．