Question

【题目】定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足 ，则称函数是上的“平均值函数”，是它的均值点.

（1）是否是上的“平均值函数”，如果是请找出它的均值点；如果不是，请说明理由；

（2）现有函数是上的平均值函数，则求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）它的均值点为；（2）.

【解析】

（1）利用结合的解有且只有，从而可得结果；（2）函数是上的平均值函数，求得，等价于关于的方程，即在内有实数根，令，可得，讨论的符号，结合零点存在定理与二次函数的图象即可得结果.

（1）又由于的解有且只有，所以是上的“平均值函数”，且它的均值点为；

（2）因为函数是上的平均值函数，所以，即关于的方程在内有实数根，即在内有实数根，

令，则，

当，即时，函数在有一个零点，满足条件；

当，即时，方程根为，满足条件；

当，即时，要使得方程在内有实数根，则且函数的对称轴在上，即，解得；

综上：.