Question

设函数，曲线过点，且在点处的切线斜率为2.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的极值点；
（Ⅲ）对定义域内任意一个，不等式是否恒成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）只有极大值点，且极大值点为；（Ⅲ）见解析。

试题分析：（Ⅰ）∵
∴...................1分
∵在点处的切线斜率为2
∴即......................2分
故..............................3分
（Ⅱ）∵（）
得................4分
即
由可得，
当时，...................5分
当时，............................6分
列表可得：

	+	0	—
	↗		↙

 
故只有极大值点，且极大值点为..........................8分
（Ⅲ）令，得（）............9分
∴
即..................10分
由可得，
当时，
当时，.........................11分
列表可得：

	+	0	—
	↗	0	↙

 
由表可知的最大值为
即恒成立
故恒成立.......................12分
点评：极值点的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点。因此在求极值点的时候仅仅由=0得到的点不一定是极值点，而应该加以验证。