题目内容

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=
3
acosC.
(1)求角C的大小;
(2)当
3
sinA-cosB取得最大值时,请判断△ABC的形状.
分析:(1)已知等式变形后利用正弦定理化简,整理后求出tanC的值,即可确定出C的度数;
(2)根据C的度数,利用内角和定理用A表示出B,代入原式中利用两角和与差的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由A的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域确定出原式取得最大值时A的度数,进而求出此时B与C的度数,即可对三角形ABC形状做出判断.
解答:解:(1)由csinA=
3
acosC,结合正弦定理得,
a
sinA
=
c
3
cosC
=
c
sinC

∴sinC=
3
cosC,即tanC=
3

∵0<C<π,∴C=
π
3

(2)由(1)知B=
3
-A,
3
sinA-cosB=
3
sinA-cos(
3
-A)=
3
sinA-cos
3
cosA-sin
3
sinA=
3
2
sinA+
1
2
cosA=sin(A+
π
6
),
∵0<A<
3
,∴
π
6
<A+
π
6
6

当A+
π
6
=
π
2
时,
3
sinA-cosB取得最大值1,
此时A=
π
3
,B=
3
-A=
π
3
,C=
π
3

则此时△ABC为等边三角形.
点评:此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
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