题目内容
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=
acosC.
(1)求角C的大小;
(2)当
sinA-cosB取得最大值时,请判断△ABC的形状.
3 |
(1)求角C的大小;
(2)当
3 |
分析:(1)已知等式变形后利用正弦定理化简,整理后求出tanC的值,即可确定出C的度数;
(2)根据C的度数,利用内角和定理用A表示出B,代入原式中利用两角和与差的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由A的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域确定出原式取得最大值时A的度数,进而求出此时B与C的度数,即可对三角形ABC形状做出判断.
(2)根据C的度数,利用内角和定理用A表示出B,代入原式中利用两角和与差的余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由A的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的值域确定出原式取得最大值时A的度数,进而求出此时B与C的度数,即可对三角形ABC形状做出判断.
解答:解:(1)由csinA=
acosC,结合正弦定理得,
=
=
,
∴sinC=
cosC,即tanC=
,
∵0<C<π,∴C=
;
(2)由(1)知B=
-A,
∴
sinA-cosB=
sinA-cos(
-A)=
sinA-cos
cosA-sin
sinA=
sinA+
cosA=sin(A+
),
∵0<A<
,∴
<A+
<
,
当A+
=
时,
sinA-cosB取得最大值1,
此时A=
,B=
-A=
,C=
,
则此时△ABC为等边三角形.
3 |
a |
sinA |
c | ||
|
c |
sinC |
∴sinC=
3 |
3 |
∵0<C<π,∴C=
π |
3 |
(2)由(1)知B=
2π |
3 |
∴
3 |
3 |
2π |
3 |
3 |
2π |
3 |
2π |
3 |
| ||
2 |
1 |
2 |
π |
6 |
∵0<A<
2π |
3 |
π |
6 |
π |
6 |
5π |
6 |
当A+
π |
6 |
π |
2 |
3 |
此时A=
π |
3 |
2π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
则此时△ABC为等边三角形.
点评:此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

练习册系列答案
相关题目
在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=
bc,且b=
a,则下列关系一定不成立的是( )
3 |
3 |
A、a=c |
B、b=c |
C、2a=c |
D、a2+b2=c2 |