题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=
acosC．
（1）求角C的大小；
（2）当
sinA-cosB取得最大值时，请判断△ABC的形状．
| 3 |
（1）求角C的大小；
（2）当
| 3 |
分析：（1）已知等式变形后利用正弦定理化简，整理后求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）根据C的度数，利用内角和定理用A表示出B，代入原式中利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出原式取得最大值时A的度数，进而求出此时B与C的度数，即可对三角形ABC形状做出判断．
（2）根据C的度数，利用内角和定理用A表示出B，代入原式中利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出原式取得最大值时A的度数，进而求出此时B与C的度数，即可对三角形ABC形状做出判断．
解答：解：（1）由csinA=
acosC，结合正弦定理得，
=
=
，
∴sinC=
cosC，即tanC=
，
∵0＜C＜π，∴C=
；
（2）由（1）知B=
-A，
∴
sinA-cosB=
sinA-cos（
-A）=
sinA-cos
cosA-sin
sinA=
sinA+
cosA=sin（A+
），
∵0＜A＜
，∴
＜A+
＜
，
当A+
=
时，
sinA-cosB取得最大值1，
此时A=
，B=
-A=
，C=
，
则此时△ABC为等边三角形．
| 3 |
| a |
| sinA |
| c | ||
|
| c |
| sinC |
∴sinC=
| 3 |
| 3 |
∵0＜C＜π，∴C=
| π |
| 3 |
（2）由（1）知B=
| 2π |
| 3 |
∴
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵0＜A＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
当A+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 3 |
此时A=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
则此时△ABC为等边三角形．
点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |