题目内容
（2007•河东区一模）在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为△ABC的面积，且满足条件4sinB•sin2（
+
）+cos2B=1+
．
（Ⅰ）求∠B的度数；
（Ⅱ）若a=4，S=5
，求b的值．
| π |
| 4 |
| B |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求∠B的度数；
（Ⅱ）若a=4，S=5
| 3 |
分析：（I）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出sinB=
，结合B是△ABC的内角可B=
或B=
；
（II）根据正弦定理的面积公式，算出边c=5．再利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB的式子，代入数据即可算出边b的值等于
或
．
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（II）根据正弦定理的面积公式，算出边c=5．再利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB的式子，代入数据即可算出边b的值等于
| 21 |
| 61 |
解答：解：（Ⅰ）由4sinB•sin2（
+
）+cos2B=1+
，得
2sinB•[1-cos（
+B）]+1-2sin2B=1+
，可得sinB=
，
又∵B是△ABC的内角，∴B=
或B=
；
（II）∵a=4，S=5
，
∴
acsinB=
×4×c×
=5
，解之得c=5
∵由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB
∴当B=
时，b=
=
；
当B=
时，b=
=
．
即边b的值等于
或
| π |
| 4 |
| B |
| 2 |
| 3 |
2sinB•[1-cos（
| π |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
又∵B是△ABC的内角，∴B=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（II）∵a=4，S=5
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∵由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB
∴当B=
| π |
| 3 |
| 16+25-2×4×5×cos60° |
| 21 |
当B=
| 2π |
| 3 |
| 16+25-2×4×5×cos120° |
| 61 |
即边b的值等于
| 21 |
| 61 |
点评：本题给出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
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