Question

19．设函数f（x）=cos²x-asinx+2，若对于任意的实数x，都有f（x）≤5，求实数a的范围．

Answer 1

分析 令sinx=t，问题转化为t²+at+2≥0对于任意的t∈[-1，1]恒成立，分类讨论由二次函数区间的最值可得．

解答 解：由题意可得cos²x-asinx+2≤5对于任意的实数x恒成立，
∴1-sin²x-asinx+2≤5对于任意的实数x恒成立，
∴sin²x+asinx+2≥0对于任意的实数x恒成立，
令sinx=t，则t∈[-1，1]，
∴t²+at+2≥0对于任意的t∈[-1，1]恒成立，
当-$\frac{a}{2×1}$≤-1即a≥2时，（-1）²+a（-1）+2≥0，
解得a≤3，综合可得2≤a≤3；
当-$\frac{a}{2×1}$≥1即a≤-2时，（1）²+a（1）+2≥0，
解得a≥-3，综合可得-3≤a≤-2；
当-1＜-$\frac{a}{2×1}$＜1即-2＜a＜2时，（-$\frac{a}{2}$）²+a（-$\frac{a}{2}$）+2≥0，
解得-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，综合可得-2＜a＜2；
综上可得实数a的范围为[-3，3]

点评 本题考查三角函数的最值，涉及恒成立以及二次函数区间的最值和分类讨论思想，属中档题．