Question

11．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos²x+$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1，b+c=2，f（A）=$\frac{1}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的咨询公司化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）利用f（A）=$\frac{1}{2}$，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）-2cos²x+$\frac{3}{2}$
=$\sqrt{3}sin2xcos\frac{π}{3}+\sqrt{3}cos2xsin\frac{π}{3}$-cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得函数f（x）的单调增区间为[-$\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，a=1，b+c=2，
又0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$
从而2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=$\frac{π}{3}$，
∴1=b²+c²-2bccosA，即1=4-3bc．
故bc=1
从而S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考查计算能力，注意A的求法，容易出错．常考题型．