Question

【题目】已知函数，其中，，e为自然对数的底数.

(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；

(2)若，且存在两个极值点，，求证：

Answer 1

【答案】(1) ；(2)见解析.

【解析】

(1)由已知可得 ，只需对与0的大小关系分类讨论，确定函数的单调性，从而确定函数的最小值，即可求出实数a的取值范围；

(2)根据，是的根，可得与的关系及其范围，进而可将用含有的式子表示，构造函数即可证出.

(1)若，则，

所以，

因为，，

所以当，即时，，

所以函数在上单调递增，所以，符合题意；

当，即时，时，；时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，不符合题意，

综上：实数a的取值范围为.

(2) 若，则，

所以，

因为存在两个极值点，所以，所以，

令，得，

所以是方程的两个根，

所以，，且，，

不妨设，则，

所以

，

令，

所以，

所以在上单调递增，所以，

所以，又，

所以.