Question

4．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x＜2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，则z=2x-2y-1的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5}{3}$，5]
• B． [-$\frac{5}{3}$，5）
• C． [$\frac{5}{3}$，5）
• D． [0，5]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+1≥0}\\{x＜2}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（2，-1）．
化目标函数z=2x-2y-1为y=x-$\frac{z}{2}-1$，
由图可知，当直线y=x-$\frac{z}{2}-1$过C（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，为$2×\frac{1}{3}-2×\frac{2}{3}-1=-\frac{5}{3}$；
当直线y=x-$\frac{z}{2}-1$过A（2，-1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为2×2-2×（-1）-1=5．
∵可行域中不含点A（2，-1），
∴z=2x-2y-1的取值范围是[-$\frac{5}{3}，5$）．
故选：B．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．