Question

12．若对任意x∈A，有$\frac{1}{x}$∈A，就称A是“和谐”集合，则在集合{-1，0，$\sqrt{2}$-1，1，$\sqrt{2}$+1，3}的所有非空子集中，是“和谐”集合的概率是$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 根据二项展开式可求出原集合的所有非空子集个数为2⁶-1，可求出这些子集中的和谐集合个数，这样便得出了基本事件总数，及事件“原集合的非空子集中为和谐集合”的基本事件个数便得出了，从而由古典概型的概率公式即可得出答案．

解答 解：原集合的所有的非空子集个数为：${{C}_{6}}^{1}+{{C}_{6}}^{2}+{{C}_{6}}^{3}+{{C}_{6}}^{4}+{{C}_{6}}^{5}+{{C}_{6}}^{6}$=2⁶-1=63；
原集合的非空子集中的和谐集合为：{1}，{-1}，{1，-1}，{${\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1}$}，{1，$\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1$}，{-1，$\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1$}，$\{1，-1，\sqrt{2}-1，\sqrt{2}+1\}$，个数为7；
∴是“和谐”集合的概率为$\frac{1}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 考查列举法表示集合，元素与集合的关系，子集的概念，组合数表示集合的子集个数的方法，以及二项式定理．