Question

求证：tanα+

1

2

tan

α

2

+

1

4

tan

α

4

+…+

1

2n-1

tan

α

2n-1

=

1

2n-1

cot

α

2n-1

-2cot2α．

Answer 1

分析：通过数学归纳法来证明．先证当n=1时成立，假设当n=k时成立，然后当n=k+1时，代入n=k时的结果用二倍角公式化简整理可得证．

解答：证明：当n=1时，左边=tanα，
右边=cotα-2cot2α=

cosα

sinα

-2×

cos2α-sin2α

2sinαcosα

=

sin2α

sinαcosα

=tanα=左边，成立
假设当n=k时成立，即tanα+

1

2

tan

α

2

+

1

4

tan

α

4

+…+

1

2k-1

tan

α

2k-1

=

1

2k-1

cot

α

2k-1

-2cot2α成立
当n=k+1时，左边=tanα+

1

2

tan

α

2

+

1

4

tan

α

4

+…+

1

2k-1

tan

α

2k-1

+

1

2k

tan

α

2k

=

1

2k-1

cot

α

2k-1

-2cot2α+

1

2k

tan

α

2k

=

1

2k-1

[

cos α 2k-1

sin α 2k-1

+ 

1

2

(

sin α 2k

cos α 2k

)]-2cot2α
=

1

2k-1

(

cos2 α 2k -sin2 α 2k

2sin α 2k cos α 2k

+ 

sin2 α 2k

2sin α 2k cos α 2k

)-2cot2α
=

1

2k-1

(

cos2 α 2k

2sin α 2k cos α 2k

)-2cot2α=

1

2k

cot

α

2k

-2cot2α=右边
得证．

点评：本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系．对于三角函数的公式一定要强化记忆，才能熟练做题．