Question

如图，四棱锥S-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，tan∠ACB=

1

2

，∠CAB=

π

4

，AC交BD于O．
（1）若SB⊥平面ABCD，求证：面SAC⊥平面SBD；
（2）点E，P分别在SD，SA上，3DE=4ES，AP=2PS，求证：PB∥平面EAC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只要证明AC⊥BD，AC⊥SB即可．
（Ⅱ）连DP交AE于F，只要证明DF：DP=DO：DB=2：3，就能得到OF∥BP，即得证．

解答：解：：（Ⅰ）∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∠CAB=

π

4

，AC交BD于O．
∴∠OBA=

π

4

，又由∠AOB=π-∠OBA-∠CAB，所以∠AOB=

π

2

，即得AC⊥BD．
又∵SB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥SB，又∵BD∩SB=B，∴AC⊥平面SBD．
而AC?面SAC，∴面SAC⊥平面SBD．
（Ⅱ）连接DP交AE于F，连接OF，
由（Ⅰ）知，AC⊥BD，又由tan∠ACB=tan∠BDA=

1

2

，∴

DO

OB

=

2

1

，∴

DO

DB

=

2

3

，
又由点E，P分别在SD，SA上，满足3DE=4ES，AP=2PS．
故

DF

DP

=

2

3

，∴

DF

DP

=

DO

DB

=

2

3

，∴OF∥BP．
又OF?平面ACE，BP?平面ACE，∴BP∥平面ACE．

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，考查学生转化思想，逻辑思维能力，属于中档题．