Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f(x)=x2tan2α+x•sin(2α+

π

4

)，数列{a_n}的首项a1=

1

2

 ， an+1=f(an)．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求证：a_n+1＞a_n；
（3）求证：1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2  (n≥2 ， n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+

π

4

）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；
（2）a_n+1=f（a_n），把a_n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a_n²大于0，即可得证；
（3）把a_n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出

1

an+1

=

1

a n 2 +an

，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到

1

a n 2 +an

=

1

an

-

1

1+an

，移项后得到

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2-

1

an+1

，根据题意分别求出a₂和a₃的值，根据（2）所证明的结论即可得证．

解答：解：（1）tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，
又∵α为锐角，所以2α=

π

4

，
∴sin(2α+

π

4

)=1，
则f（x）=x²+x；
（2）∵a_n+1=f（a_n）=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（3）∵

1

an+1

=

1

a 2 n +an

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，且a₁=

1

2

，
∴

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，
则

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

，
∵a2=(

1

2

)2+

1

2

=

3

4

，a3=(

3

4

)2+

3

4

＞1，
又n≥2时，∴a_n+1＞a_n，
∴a_n+1≥a₃＞1，
∴1＜2-

1

an+1

＜2，
∴1＜

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜2．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．