Question

已知数列满足（为常数，）
（１）当时，求；
（２）当时，求的值；
（3）问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论．

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在

试题分析：（1）由，所以，.所以数列是一个等差数列.首项为2，公差为6，所以可求得通项公式.
（2）由，由于需要求的值，所以考虑数列的周期性，通过列举即可得到数列的周期为6.从而可求得的值.
（3）假设存在常数使得恒成立.由，向前递推一个式子，再利用将得到两个关于的等式，从而消去一个即可得到，或．由于.所以只有.再结合已知即可得到结论.
试题解析：（1）
（2）　，，，
，，，，，，，，
，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由有
，．……8分(理由和结论各2分)
因为　，所以．
（3）假设存在常数，使恒成立．
由　　　　　①，
及，有 ②
1式减2式得．
所以，或．
当，时，数列｛｝为常数数列，不满足要求．
由得，于是，即对于，都有，所以　，从而　．
所以存在常数，使恒成立．