Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若函数在点处切线方程为y=3x+b，求a,b的值；

（Ⅱ）当a＞0时，求函数在[1,2]上的最小值；

（Ⅲ）设，若对任意 ，均存在，使得，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），（2）详见解析（3）

【解析】试题分析：已知函数在某点处的切线方程的斜率，根据导数的几何意义，函数在某点处的导数值即为切线的斜率，再利用切点即在切线上又在曲线上，列方程求出；针对参数进行讨论研究函数的最值，对任意 ，均存在，使得，求出的范围.

试题解析：

（Ⅰ）由得, 则， 点为切点，则

（Ⅱ）由

①当,即时,函数在区间[1,2]上是减函数,

∴的最小值是.

②当，即时，函数在区间[1,2]上是增函数，

∴的最小值是.

③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．

又，

∴当时,最小值是；

当时,最小值为.综上可知,当时, 函数的最小值是；

当时，函数的最小值是.

（Ⅲ）由条件得，又∵，∴．

若，则在上单调递增， ，不符题意

由Ⅱ可知得