Question

（2012•广东模拟）若函数f（x）=x+

a

x

+lnx
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）函数f（x）是否存在极值．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，再求导函数，利用导数大于0，即可得到函数的单调增区间；
（2）求导函数，考查导数为0的方程根的情况，利用分类讨论的思想，确定方程根的情况，进而确定函数f（x）是否存在极值．

解答：解：（1）由题意，函数f（x）的定义域为{x|x＞0}…（2分）
当a=2时，f(x)=x+

2

x

+lnx，
∴f′(x)=1-

2

x2

+

1

x

=

x2+x-2

x2

…（3分）
令f′（x）＞0，即

x2+x-2

x2

＞0，得x＜-2或x＞1…（5分）
又因为x＞0，所以，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）…（6分）
（2）f′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

(x＞0)  …（7分）
令g（x）=x²+x-a，因为g（x）=x²+x-a对称轴x=-

1

2

＜0，所以只需考虑g（0）的正负，
当g（0）≥0，即a≤0时，在（0，+∞）上g（x）≥0，
即f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）无极值   …（10分）
当g（0）＜0，即a＞0时，g（x）=0在（0，+∞）有解，所以函数f（x）存在极值．…（12分）
综上所述：当a＞0时，函数f（x）存在极值；当a≤0时，函数f（x）不存在极值．…（14分）

点评：本题考查的重点是导数知识的运用，解题的关键是利用导数大于0，确定函数的单调增区间，利用导数为0的方程根的情况的研究，确定函数f（x）是否存在极值．