题目内容

(2012•广东模拟)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是
2
3
3
4
假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响.
(1)求甲射击3次,至少1次未击中目标的概率;
(2)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击,问:乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是多少?
(3)设甲连续射击3次,用ξ表示甲击中目标时射击的次数,求ξ的数学期望Eξ.(结果可以用分数表示)
分析:(1)求甲射击3次,至少1次未击中目标的概率,考虑其对立事件的概率即可;
(2)设“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件C,根据题意,必然乙是最后两次未击中目标,第一次及第二次至多次有一次未击中目标,结合概率的计算公式,计算可得答案;
(3)ξ服从二项分布,根据期望公式即可求得,或者先求分布列,再求期望.
解答:解:(1)记“甲连续射击3次,至少1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A1)=1-P(
.
A1
)=1-(
2
3
)3
=
19
27

ξ 0 1 2 3
p
1
27
6
27
12
27
8
27
答:甲射击3次,至少1次未击中目标的概率为
19
27
;…(4分)
(2)记“乙恰好射击4次后,被中止射击”为事件A2,由于各事件相互独立,
故P(A2)=
1
4
×
1
4
×
3
4
×
1
4
+
1
4
×
1
4
×
3
4
×
3
4
=
3
64

答:乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是
3
64
…(8分)
(3)根据题意ξ服从二项分布,Eξ=3×
2
3
=2
…(12分)
(3)方法二:p(ξ=0)=
C
0
3
•(
1
3
)3=
1
27
p(ξ=1)=
C
1
3
•(
2
3
)•(
1
3
)2=
6
27
p(ξ=2)=
C
2
3
•(
2
3
)2•(
1
3
)1=
12
27
p(ξ=1)=
C
3
3
•(
2
3
)3•(
1
3
)0=
8
27

Eξ=0×
1
27
+1×
6
27
+2×
12
27
+3×
8
27
=2
…(12分)
说明:(1),(2)两问没有文字说明分别扣(1分),没有答,分别扣(1分).
第(3)问方法对,算错数的扣(2分)
点评:本题考查相互独立事件的概率的乘法公式与n次重复试验中恰有k次发生的概率,考查随机变量的期望,解题的关键是明确事件之间的相互关系(互斥、对立等).
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