题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求证：f（x）的图象关于点 $数学公式$ 成中心对称；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ；
（Ⅲ）已知 $数学公式$ ，数列{a_n}的前n项和为T_n．若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，求λ的取值范围．

证明：（Ⅰ）在函数f（x）图象上任取一点M（x，y），M关于 $\text{[math]}$ 的对称点为N（x₁，y₁），
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ①．
∵f（x）= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ②．
将①代入②得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴N（x₁，y₁）也在f（x）图象上，∴f（x）图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称．
（直接证f（x）+f（1-x）=1得f（x）图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称，也可给分）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时， $\text{[math]}$ ③， $\text{[math]}$ ④
③+④得2S_n=n-1，∴ $\text{[math]}$ ．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴当n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∵当n=1时， $\text{[math]}$ 也适合上式，∴ $\text{[math]}$ ．
由T_n＜λ（S_n+1+1）得， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵n∈N^*，∴ $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时，即n=2时， $\text{[math]}$ 最大，它的最大值是 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（I）证明函数的图象关于点M成中心对称，只需在图象上任取一点A，求出其关于中心的对称点A′的坐标，代入函数解析式也成立，即可证明成中心对称．利用以下结论：若f（x）+f（1-x）=1，则f（x）图象关于点 $\text{[math]}$ 成中心对称也可证明．
（II）利用（I）的结论可知f（x）+f（1-x）=1，因此运用倒序相加法的思想方法很容易解答本题．
（III）由（II）知 $\text{[math]}$ ，因此求得a_n，利用裂项相消法可以求得{a_n}的前n项和为T_n，于是由T_n＜λ（S_n+1+1）得到 λ与n的关系式进一步利用函数与方程的思想转化为求函数的最值问题，可解得λ 的取值范围．
点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂项相消法求数列前n项的和，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题．