Question

【题目】已知函数f（x）=2cosx（ sinx+cosx）+m，（x∈R，m∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[0， ]上的最大值是6，求f（x）在区间[0， ]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2cosx（ sinx+cosx）+m

= sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+ ）+1+m，

故函数f（x）的最小正周期为π

（2）解：在区间[0， ]上，2x+ ∈[ ， ]，

故当2x+ = 时，f（x）取得最大值为2+1+m=6，∴m=3．

故当2x+ = 时，f（x）取得最小值为﹣1+1+m=3

【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得m的值，从而求得f（x）在区间[0， ]上的最小值．
【考点精析】关于本题考查的三角函数的最值，需要了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能得出正确答案．