题目内容
6．
如图，A，B，C三地有直道相通，AB=10 千米，AC=6 千米，BC=8千米．现甲、乙两人同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为10千米/小时，乙的路线是ACB，速度为16千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1） 的值；
（2）已知对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t） 在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
分析 （1）由题意可得t1=$\frac{3}{8}$h，由余弦定理可得f（t1）=CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC•ADcosA}$=$\frac{3\sqrt{41}}{4}$；
（2）当t1=$\frac{3}{8}$≤t≤$\frac{7}{8}$时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=2$\sqrt{2{5t}^{2}-42t+18}$，当$\frac{7}{8}$＜t≤1时，f（t）=10-10t，可得结论．
解答 解：（1）由题意可得t1=$\frac{3}{8}$h，记乙到C时甲所在地为D，则AD=$\frac{15}{4}$（千米）．
在三角形ACD中，由余弦定理f（t1）=CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC•ADcosA}$=$\frac{3\sqrt{41}}{4}$（千米）．
（2）甲到达B用时1小时，乙到达C用时$\frac{3}{8}$小时，从A到B总用时$\frac{7}{8}$小时，
当t1=$\frac{3}{8}$≤t≤$\frac{7}{8}$时，
f（t）=$\sqrt{（14-16t）^{2}+（10-10t）^{2}-2（14-16t）（10-10t）•\frac{4}{5}}$=2$\sqrt{2{5t}^{2}-42t+18}$，
当$\frac{7}{8}$＜t≤1时，f（t）=10-10t，
∴f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{25{t}^{2}-42t+18}，\frac{3}{8}≤t≤\frac{7}{8}}\\{10-10t，\frac{7}{8}＜t≤1}\end{array}\right.$，
因为f（t）在[$\frac{3}{8}$，$\frac{7}{8}$]上的最大值是f（$\frac{3}{8}$）=$\frac{3\sqrt{41}}{4}$，f（t）在[$\frac{7}{8}$，1]上的最大值是f（$\frac{7}{8}$）=$\frac{5}{4}$，
所以f（t）在[$\frac{3}{8}$，1]上的最大值是$\frac{3\sqrt{41}}{4}$，超过3．
点评 本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．
《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） （注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5°≈$\frac{5}{13}$）| A． | 600立方寸 | B． | 610立方寸 | C． | 620立方寸 | D． | 633立方寸 |