Question

【题目】已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.

（1）求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；

（2）如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；

（3）当， 时，直线交椭圆于， 两点，若点， 的“伴随点”分别是， ，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）;（3） .

【解析】试题分析：(1)利用相关点代入法求解；（2）先由已知求得椭圆方程为 ，设

；（3）设, 1)当直线的斜率存在时,设方程为

，由以 为直径的圆经过原点

，又到直线的距离 ；2) 当直线的斜率不存在时,设方程为

的面积是定值 .

试题解析：（1）解.设（）由题意 则，又

，从而得

（2）由，得.又，得.

点在椭圆上， ， ，且，

，

由于， 的取值范围是

（3） 设,则;

1)当直线的斜率存在时,设方程为, 由

得； 有 ①

由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ；

整理得: ②

将①式代入②式得: ,

又点到直线的距离

所以

2) 当直线的斜率不存在时,设方程为

联立椭圆方程得；代入得，解得,从而,综上: 的面积是定值.