Question

13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（x+1）+1，
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（-x）=-f（x），f（0）=0．再利用当x＞0时，f（x）=x（x+1）+1，可得x＜0时的解析式．
（2）画出函数图象即可得出单调性．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0．
设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x（x+1）+1，
∴f（-x）=-x（1-x）+1=x（x-1）+1，
∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）-1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1）+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{x（1-x）-1，x＜0}\end{array}\right.$．
（2）如图所示，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}，x＞0}\\{0，x=0}\\{-（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{3}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，
可知：函数f（x）在R上单调递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．