Question

5．已知关于x的方程x²-2mx+3+4m²-6=0的两根为α，β，试求（α-1）²+（β-1）²的最大值与最小值．

Answer 1

分析 根据△≥0求出m的取值范围，再由根与系数的关系求出函数u=（α-1）²-（β-1）²的最大值与最小值即可．

解答 解：∵α、β为方程的两个实数根，
∴△=4m²-4（3+4m²-6）≥0，
解得-1≤m≤1；
设u=（α-1）²-（β-1）²=（α+β）²-2（α+β）-2αβ+2，
且α+β=2m，αβ=4m²-3，
∴u=4m²-4m-2（4m²-3）+2
=-4m²-4m+8
=-4${（m+\frac{1}{2}）}^{2}$+9，
又∵-1≤m≤1，
∴当m=-$\frac{1}{2}$时，u取得最大值u_max=9，
m=1时，u取得最小值u_min=0．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及函数的最值问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．