Question

（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y= f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵e=  ∴c= a      
∴b²=a²-c²= a²
故所求椭圆为：………………………………（1分）
又椭圆过点（）  ∴   ∴a² ="4.  " b² ="1  " ∴（3分）
(Ⅱ)设P（x₁,y₁）, Q（x₂,y₂）,PQ的中点为（x₀,y₀）
将直线y=kx+m与
联立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
  ①
又x₀=……………………（5分）
又点［-1，0）不在椭圆OE上，
依题意有
整理得3km=4k²+1  ②……………………………………………………（7分）
由①②可得k²＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞……………………（8分）
设O到直线l的距离为d，则
S_△OPQ =
=……………………………（10分）
当的面积取最大值1，此时k= 
∴直线方程为y= ……………………………………（12分）

略