Question

已知不等式sin²x+sinx+1＜a 有解则a的范围为

a＞

3

4

．

Answer 1

分析：由题意可得 (sinx+

1

2

)2＜a-

3

4

 有解，再由 (sinx+

1

2

)2≥0，得到a-

3

4

＞0，从而求出a的范围．

解答：解：不等式sin²x+sinx+1＜a 有解，即 (sinx+

1

2

)2＜a-

3

4

 有解．
由于当sinx=-

1

2

时，(sinx+

1

2

)2有最小值等于0； 当sinx=1时，(sinx+

1

2

)2有最大值等于

9

4

，
∴0≤(sinx+

1

2

)2≤

9

4

．
要使 (sinx+

1

2

)2＜a-

3

4

 有解，a-

3

4

 应大于(sinx+

1

2

)2的最小值，
故 a-

3

4

＞0，解得 a＞

3

4

．
故答案为：a＞

3

4

．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，一元二次不等式的应用，由 (sinx+

1

2

)2≥0，得到a-

3

4

＞0，是解题
的关键．