Question

已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．  
（1）求直线的方程及的值；
（2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；
（3）当时，求证：．

Answer 1

（1），m=-2
（2）取得最大值
（3）由（Ⅱ）知：当时，，即，结合单调性来证明。

试题分析：解：（Ⅰ）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率
，所以直线的方程为．又因为直线与的图像相切，所以由
，
得（不合题意，舍去）； .  4分
（Ⅱ）因为（），所以
．当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值； .  8分
（Ⅲ）当时，．由（Ⅱ）知：当时，，即．因此，有． .  12分
点评：主要是考查了函数的单调性以及不等式的运用，属于基础题。