Question

已知函数（是不为零的实数，为自然对数的底数）.
（1）若曲线与有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；
（2）若函数在区间内单调递减，求此时k的取值范围.

Answer 1

（1）．
（2）当时，函数在区间内单调递减.

试题分析：（1）设曲线与有共同切线的公共点为，
则．     1分
又曲线与在点处有共同切线，
且，，  2分
∴，                      3分
解得 ．                           4分
（2）由得函数，
所以                     5分

．               6分
又由区间知，，解得，或．                     7分
①当时，由，得，即函数的单调减区间为，                      8分
要使得函数在区间内单调递减，
则有                           9分
解得．                  10分
②当时，由，得，或，即函数的单调减区间为和，             11分
要使得函数在区间内单调递减，
则有，或，                   12分
这两个不等式组均无解.                        13分
综上，当时，函数在区间内单调递减.  14分
点评：难题，本题属于导数内容中的基本问题，（1）运用“函数在某点的切线斜率，就是该点的导数值”，确定直线的斜率。通过研究导数值的正负情况，明确函数的单调区间。确定函数的最值，往往遵循“求导数，求驻点，计算极值、端点函数值，比较大小确定最值”。本题较难，主要是涉及参数K的分类讨论，不易把握。