Question

（2013•徐州模拟）已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．
（ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；
（ⅱ）若cos∠AMB=-

65

65

，求△ABM的面积．

Answer 1

分析：（1）由离心率为

1

2

，椭圆E上的点到点F距离的最小值为2，即a-c=2联立方程组求a，c的值，然后利用b²=a²-c²求出b²，则椭圆方程可求；
（2）（ⅰ）设出圆的一般方程，设N（8，t），把三点A（-4，0），F（2，0），N（8，t）代入圆的方程整理成标准式后利用基本不等式求出半径的最小值，同时求得半径最小时的圆的方程；
（ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M点的坐标，由cos∠AMB=-

65

65

，借助于向量数量积求出直线的斜率，进一步得到M点的纵坐标，则△ABM的面积可求．

解答：解：（1）由已知，

c

a

=

1

2

，且a-c=2，所以a=4，c=2，所以b²=a²-c²=12，
所以椭圆E的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）（ⅰ）由（1），A（-4，0），F（2，0），设N（8，t）．
设圆的方程为x²+y²+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得

16-4d+f=0 4+2d+f=0 64+t2+8t+et+f=0

，解得

d=2 e=-t- 72 t f=-8

．
所以圆的方程为x2+y2+2x-(t+

72

t

)y-8=0，
即(x+1)2+[y-

1

2

(t+

72

t

)]2=9+

1

4

(t+

72

t

)2，
因为(t+

72

t

)2≥(2

72

)2，当且仅当t+

72

t

=±12

2

时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为x2+y2+2x±12

2

y-8=0．
（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．
由

y=k(x+4) x2 16 + y2 12 =1

，得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-48=0
由-4+x_M=-

32k2

3+4k2

，得xM=

12-16k2

3+4k2

，所以M(

12-16k2

3+4k2

，

24k

3+4k2

)，
所以

MA

=(

-24

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，

MB

=(

32k2

3+4k2

，

-24k

3+4k2

)，
所以cos∠AMB=

MA • MB

| MA |•| MB |

=

-8×24k

24 1+k2 • (32k)2+242

=-

65

65

，
化简，得16k⁴-40k²-9=0，
解得k2=

1

4

，或k2=

9

4

，即k=

1

2

，或k=

3

2

，
此时总有y_M=3，所以△ABM的面积为

1

2

×8×3=12．

点评：本题考查了圆与椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题、面积问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．