Question

9．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{|lg|x||\\;x≠0}\\{0\\;x=0}\end{array}\right.$，关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同的解，则满足b，c的条件是（　　）

• A． b＜0，c＜0
• B． b＜0，c=0
• C． b＞0，c=0
• D． b＞0，c＜0

Answer 1

分析 作出是f（x）的图象，利用换元法结合一元二次方程根的取值和分布关系进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图，
设f（x）=t，当t=0时，方程有3个根；
当t＞0时，方程有4个根，
当t＜0时，方程无解
∴要使关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解，关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0
等价为t²+bt+c=0有一个正实数根和一个等于零的根．
∴c=0，
此时t²+bt=t（t+b）=0，
则另外一个根为t=-b，
即f（x）=-b＞0，
即b＜0，c=0．
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．综合性较强，难度较大．