Question

【题目】已知函数：f（x）＝x2﹣mx﹣n（m, n∈R）．

（1）若m+n＝0，解关于x的不等式f（x）≥x（结果用含m式子表示）；

（2）若存在实数m，使得当x∈[1，2]时，不等式x≤f（x）≤4x恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）[﹣4，8]．

【解析】

（1）由题意可得，分类讨论，，，结合二次不等式的解法可得所求解集；

（2）由题意可得对恒成立，即存在实数，使得对恒成立，考虑在单调性，可得的不等式，即可得到的取值范围.

（1）由x≤x2+mx﹣m，即（x+m）（x﹣1）≥0，

①m＝﹣1时，可得x∈R；

②m＜﹣1时，﹣m＞1，可得解集为（﹣∞，1]∪[﹣m，+∞）；

③m＞﹣1时，﹣m＜1，可得解集为（﹣∞，﹣m]∪[1，+∞）；

（2）x∈[1，2]时，x≤x2+mx+n≤4x恒成立，

即为1≤xm≤4对x∈[1，2]恒成立，

即存在实数m，使得﹣x1≤m≤﹣x4对x∈[1，2]恒成立，

∴（﹣x1）max≤（﹣x4）min，

当时，由在[1，2]递减，

∴﹣n≤2，即n≥﹣4，

当时，由在[1，2]递减，

∴﹣n≤2，即n≥﹣4，

当时，由在[1，2]递增，

∴，

当时，由在[1，2]先增后减，

∴或，

综上，实数n的取值范围：[﹣4，8]．