Question

【题目】如图，在底面为等边三角形的斜三棱柱中， ，四边形为矩形，过作与直线平行的平面交于点.

(1)证明: ；

(2)若直线与底面所成的角为，求二面角的余弦值 .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，推导出，由四边形为平行四边形，得为的中位线，从而为的中点，由此能证明；

（2）过作平面，垂足为，连接，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

解:(1)如图，

连接交于点，连接.

因为平面平面，平面

平面，所以.

又四边形为平行四边形，

所以为的中点，所以为的中位线，所以为的中点.

又为等边三角形，所以.

(2)过作平面，垂足为，连接，设，

则.

因为直线与底面所成的角为，所以.

在中，因为，

所以，.

为平面平面，

所以，

四边形为矩形，所以，

因为，所以.

因为平面平面，所以

平面.

因为平面，所以.

又为等边三角形，所以为的中点.

以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.

则，，，.

因为，

所以，

因为，

所以，

，，

.

设平面的法向量为.

由，得，

令，得，

所以平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

由，得，

令，得，

所以平面的一个法向量为.

所以，

因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.