Question

在直三棱柱中，，，D、E分别是棱、，的中点．

（I）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

解法一：（I）证明：取的中点G，连结EC、DG，

则∥且＝                      

    ∴四边形为平行四边形，

∴∥                                      

    又∵面，DG面

∴∥面                                                                           

（Ⅱ）延长CA交的延长线于点P，连结BP，过点A作AQ⊥，垂足为Q，连结BQ，

∵

∴

    ∴为二面角的平面角．                                       

在Rt△ADP中，

∴

∴

∴                                                   

解法二：

（I）以A为坐标原点，AB、AC、分

别为轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，则有A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），（0，0。2），（2，0，2），（0，2，2），D（0，0，1），E（1，1，2）．    

   ∴ ，

   

    设是平面的一个法向量．则

                                                                                                 

    ∴                                                                

    令，得

∴

∴

∵面

∴∥面                                                                                  

（Ⅱ）∵

    ∴是面的一个法向量．

    ∵∴，又                                            

   ∴

∴二面角的余弦值为.