Question

实数x，y满足4x²-5xy+4y²=5，设 S=x²+y²，则

1

Smax

+

1

Smin

=

8

5

．

Answer 1

分析：由2xy≤x²+y²可得5xy=4x²+4y²-5≤

5

2

（x²+y²），从而可求s的最大值，由x²+y²≥-2xy及5xy=4x²+4y²-5≥-8xy-5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求

解答：解：∵4x²-5xy+4y²=5，
∴5xy=4x²+4y²-5，
又∵2xy≤x²+y²
∴5xy=4x²+4y²-5≤

5

2

（x²+y²）
设 S=x²+y²，
4s-5≤

5

2

s
∴s≤

10

3

即Smax=

10

3

∵x²+y²≥-2xy
∴5xy=4x²+4y²-5≥-8xy-5
∴xy≤-

5

13

∴-xy≥

5

13

∴S=x²+y²≥-2xy≥

10

13

∴Smin=

10

13

∴

1

Smax

+

1

Smin

=

3

10

+

13

10

=

8

5

故答案为：

8

5

点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是灵活利用基本公式．