Question

给出以下结论：（1）x，y∈R，若x²+y²=0，则x=0或y=0的否命题是假命题；
（2）若非零向量

a

，

b

，

c

两两成的夹角均相等，则夹角为0°或120°
（3）若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，则a₀+a₁+2a₂+3a₃+…10a₁₀=10×2⁹
（4）实数x，y满足4x²-5xy+4y²=5，设S=x²+y²，则

1

Smax

+

1

Smin

=

7

5

（5）函数f(x)=

sinx，(sinx≤cosx) cosx，(sinx＞cosx)

为周期函数，且最小正周期T=2π
其中正确的结论的序号是：

（1）（5）

（写出所有正确的结论的序号）

Answer 1

分析：根据（1）命题的逆命题为假命题，而逆命题与否命题同真假，得到（1）不正确．（2）空间中还可以成其它的角度．（如90°），所以（2）错误．（3）若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+…+a₁₀x¹⁰，左右两边同时对x求导，再利用赋值法即可得出结论；（4）根据函数的最值，得到不正确，（5）根据分段函数的周期性得到正确．

解答：解：（1）命题的逆命题为：x，y∈R，若x=0或y=0，则x²+y²=0，为假命题，
而逆命题与否命题同真假，所以（1）不正确．
（2）空间中还可以成其它的角度．（如90°），所以（2）错误．
（3）若（1+x）¹⁰=a₀+a₁x+…+a₁₀x¹⁰，左右两边同时对x求导，
则10（1+x）⁹=a₁+2a₂x+…+10a₁₀x⁹，
令 x=1 则a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀=10×2⁹
∴a₀+a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀
=10×2⁹+1   
所以（3）错误
（4）设

x= S cosα y= S sinα

代入4x²-5xy+4y²=5式得：4S-5S•sinαcosα=5  
解得 S=

10

8-5sin2α

；
∵-1≤sin2α≤1
∴3≤8-5sin2α≤13
∴

10

13

≤

10

8-5sin2α

≤

10

3

则

1

Smax

+

1

Smin

=

3

10

+

13

10

=

8

5

，所以（4）错误
（5）函数f（x）=

sinx，(sinx≤cosx) cosx，(sinx＞cosx)

分段函数中两个函数都是周期函数，
可以得到分段函数为周期函数，且最小正周期T=2π．所以（5）正确．
故答案为：（1）（5）．

点评：本题考查命题真假的判断，本题解题的关键是利用否命题与逆命题之间的同真假的关系，考查周期函数和函数的最值，本题是一个易错题．