Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线l₁、l₂分别与曲线C交于A、B和C、D，以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，若能，求直线AB的斜率，若不能说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题中条件：“点P到两点（0，-），（0，）的距离之和等于4，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程．
（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于k方程式即可求得参数k值．
解答：解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．
（2）设直线，分别交曲线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足消去y并整理得，
故．
以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，则，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而，
于是，化简得-4k²+11=0，所以
点评：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题及方程思想，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．