Question

已知数列{a_n}满足：a_n+2a_n+1=0，且a₁=3
（I）求数列{a_n}的前7项和S₇；
（Ⅱ）设数列{a_n}中：b_n=log₂

3

|an+1|

，求数列{

1

bnbn+1

}的前20项和．

Answer 1

分析：（1）由题设条件能够推导出数列{a_n}是首项a₁=3，公比q=

an+1

an

=-

1

2

的等比数列，由此能求出数列{a_n}的前7项和S₇；
（2）由（1）推导出b_n=log₂

3

|an+1|

=n，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

bnbn+1

}的前20项和．

解答：解：（1）∵a_n+2a_n+1=0，且a₁=3，
∴数列{a_n}是首项a₁=3，公比q=

an+1

an

=-

1

2

的等比数列，
∴S₇=

3×[1-(- 1 2 )7]

1-(- 1 2 )

=

129

64

．
（2）∵数列{a_n}是首项a₁=3，公比q=

an+1

an

=-

1

2

的等比数列，
∴a_n=3×(-

1

2

)n-1，
∴b_n=log₂

3

|an+1|

=log2

3

|3×(- 1 2 )n|

=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{

1

bnbn+1

}的前20项和T₂₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

20

-

1

21

=

20

21

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要熟练掌握等比数列的基本性质，注意对数性质和裂项求和法的合理运用．