Question

19．已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切．
（I）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）过原点O的动直线l与圆C交于A、B两点，问x轴上是否存在定点M（x₀，0），使得当l变动时，总有MA，MB的斜率之和为0？若存在，求出x₀的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．
（Ⅱ）分类讨论，利用有MA，MB的斜率之和为0，即可得出结论．

解答 解：（I）令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0，与x轴的交点为（-1，0）
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即r=$\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，所以圆C的方程为（x+1）²+y²=2；
（Ⅱ）斜率存在时，设l的方程为y=kx，代入（x+1）²+y²=2，可得（1+k²）x²+2x-1=0，
设A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），则x₁+x₂=-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$
MA，MB的斜率之和=$\frac{k{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{k{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=0，
∴2x₁x₂-x₀（x₁+x₂）=0，
∴2•（-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$）-x₀（-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$）=0，
∴x₀=1，
斜率不存在时，也满足．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程以及存在性问题等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．